Penerapan Permutasi Dan Kombinasi Pada Ilmu Komputer

  Nama : Femy Akbar maulana
  Kelas : A



 Dalam matematika, penyusunan obyek yang terdiri dari beberapa unsur dengan mempertimbangkan urutan disebut dengan permutasi, sedangkan yang tidak  mempertimbangkan urutan disebut dengan kombinasi. 

Peranan kedua metode matematika ini sangat dibutuhkan dan berperan penting dalam perkembangan teknologi terutama ilmu komputer.

         Adapun beberapa pemanfaatan permutasi dan kombinasi dalam ilmu komputer adalah sebagai berikut:

1. Komputer dapat melakukan perhitungan logika rasional sistematis secara cepat dan tepat.

2. Permutasi dan kombinasi dapat mencari persamaan logika yang rasional yang dapat di terjemahkan ke dalam komputer melalui bahasa pemrograman.

3. Penerapan pada ilmu enskripsi atau keamanan kode (kata sandi) dimana dalam beberapa algoritma enskripsi seperti Rijndael dan Serpent 

4. Membantu komputer melakukan perhitungan logika yang sistematis dengan cepat dan akurat 

5.  Penerapan permainan dadu yang menggunakan sistem peluang mata dadu 

6.  Penerapan dalam algoritma pembuatan aplikasi ramalan atau zodiak

7. Penerapan dalam aplikasi pengurutan data yang lebih akurat dan tepat 

8. Teknik sistem dan hukum peluang dalam aplikasi

10. sebagai dasar operasi hitung dan pemrograman

11. mendukung perkembangan hardware dan software komputer 

12. Penerjemahan dalam bahasa komputer, dimana dengan mengimplementasikan permutasi dan kombinasi pada complier bahasa pemrograman bisa lebih efisien.

13. Dalam permainan acak kata atau scrabble adalah salah satu implementasi permutasi dan kombinasi dalam algoritma permainan.

14. Sistem critical chance dan evade chance dalam permainan game khususnya game RPG

dan masih banyak lagi.

Pemutasi Dan Kombinasi

Nama : Femy Akbar Maulana

Kelas  : A

PERMUTASI

1.  Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?

Jawaban:

Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)

Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:

Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

2.  Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?

Jawaban: 

nPx = n! 

3P3 = 3! 

       = 1 x 2 x 3 

       = 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

3.  Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?

Jawaban: 

nPx = (n!)/(n-x)! 

4P2 = (4!)/(4-2)! 

        = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

4. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. 

Jawaban:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)! 

       = 7!/4! 

       = 7.6.5 

       = 210 cara

5. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan? 

Jawaban:

Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

 6. Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, C

jawab:

Jika A sebagai urutan I : ABC

Jika B sebagai urutan I : BCA

Jika C sebagai urutan III : CAB

Jika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D

KOMBINASI

1) Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?

Jawaban:

4C3 =4! / 3! (4-3)!

        = (4.3.2.1) / 3.2.1.1

        = 24 / 6

        = 4 cara

 2) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.

Jawaban: 

nCx = (n!)/(x!(n-x)!)  

4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) 

        = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH). 

3) Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.

Jawaban: 

10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

4) Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.

Jawaban: 

3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

5) Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:

a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan

b. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.

Jawaban:

a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara

b. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

6) Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....

Jawaban:

6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

Matriks Identitas

Nama : Femy Akbar Maulana

Kelas : A

Penerapan Diferensial Pada Pemrograman Komputer

Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk suatu fungsi
tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan nilai dari fungsi
tersebut dengan turunannya sendiri  pada berbagai derajat  turunan (Ledder, 2005,
p16).

Seiring perkembangan zaman, pemanfaatan media pembelajaran matematika berbasis
komputer sudah merupakan keharusan dan kebutuhan. Media pembelajaran berbasis
komputer sangat ideal untuk dimanfaatkan dalam pembelajaran konsep-konsep yang
menuntut ketelitian tinggi, konsep atau prinsip yang perlu disajikan secara repetitif, dan
penyelesaian dalam tampilan grafis yang akurat dan cepat.


Salah satu media pembelajaran yang relevan digunakan untuk membantu mahasiswa dalam mempelajari Kalkulus Differensial adalah software yang dikembangkan dalam program  Delphi. Program  Delphi
sebagai media pembelajaran Kalkulus Differensial dapat memberikan pengalaman visual
kepada mahasiswa.


Berbagai kemungkinan pemanfaatan komputer berserta berbagai programnya telah
dikaji dan diekplorasi. Selain itu, pemanfaatan komputer dapat memberikan umpan balik
secara langsung kepada mahasiswa sehingga kekeliruan dapat segera diperbaiki.
Beberapa keuntungan digunakannya komputer dalam pembelajaan adalah sbb:
a. Komputer dapat memberikan umpan balik secara langsung kepada mahasiswa
b. Keleliruan mahasiswa dapat terhindarkan karena ada umpan balik
c. Mahasiswa mempunyai sikap yang positif dan kreatif
d. Soal-soal dapat diselesaikan jauh lebih cepat.
e. Dapat  memberikan animasi grafik dengan lebih cepat dan lebih bagus


Perangkat lunak komputer yang berupa program sederhana yang dapat digunakan
untuk pembelajaran Kalkulus Differensial adalah program Delphi. Dengan program Delphi
dapat disusun suatu  sofware pembelajaran yang dapat digunakan dalam pembelajaran
Kalkulus diferensial. Jadi untuk dapat menggunakan program tersebut dalam pembelajaran
harus disusun terlebih dahulu sofwarenya sesuai dengan materi yang kan diajarkan.
Program Delphi sebbagai media pembelajaran Kalkulus Differensial dapat memberikan
pengalaman visual kepada mahasiswa. Hal ini dapat menumbuhkan minat mahasiswa dalam
mempelajari Kalkulus Differensial karena dapat memperjelas dan mempermudah pemahaman
mahasiswa terhadap objek-objek dalam Kalkulus Differensial yang bersifat abstrak. Dengan
program ini, grafik atau kurva dari suatu persamaan dapat dengan mudah dibuat dan
divisualisasikan. Demikian juga mengenai hasil penghitungan limit, turunan,  kemonotonan,
nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dan sebagainya dapat dengan mudah pula
ditentukan. Beberapa manfaat yang dapat diperoleh dari pemanfaatan program Delphi dalam
pembelajaran Kalukulus Diferensial antara lain adalah sebagai berikut.
1. Menggambar grafik atau kurva yang biasanya dilakukan dengan pensil, penggaris, dan
jangka (memerlukan waktu lama) dapat dilakukan dengan komputer dengan cepat dan
teliti.
2. Adanya fasilitas untuk merubah setiap variabel yang terkait, mempermudah mahasiswa
dalam memahami konsep, prinsip, maupun prosedur/ketrampilan penyelesaian soal.
3. Dapat dimanfaatkan sebagai balikan atau evaluasi terhadap grafik dan perhitungan yang
telah kita lakukan.
Dalam kegiatan pembelajaran, program  Delphi dapat dimanfaatkan sebagai media
pembelajaran pada tahap penanaman konsep, tahap pemahaman konsep, dan pembinaan keterampilan konsep.

Identitas Diri

Nama             : Femy Akbar Maulana
Jenis Kelamin : Laki-laki
Tanggal Lahir  : 09 Juni 1992 
Alamat           : Jl. Maleer - Cigalontang - Tasikmalaya
Asal Sekolah  : SMA N 1 CIgalontang, angkatan 2010/2011
Melanjutkan Sekolah di : STMIK Tasikmalaya program S1 jurusan TI (Teknik Informatika)

HUBUNGAN ANTARA MATEMATIKA DISKRIT DENGAN PEMROGRAMAN

Matematika dikenal sebagai ilmu dasar. Pembelajaran matematika akan melatih kemampuan berpikir kritis, logis, analitis, dan sistematis. Tetapi peran matematika tidak hanya sebatas hal tersebut. Perkembangan bidang ilmu lain, seperti fisika, biologi, ekonomi ataupun berbagai bidang ilmu sosial, tidak terlepas dari peran matematika. Matematika juga sangat pantas disebut sebagai jembatan ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebagai contoh, kemajuan teknologi luar angkasa yang sangat pesat di jaman sekarang karena kemajuan bidang ilmu fisika. Tetapi kemajuan ilmu fisika itu sendiri tidak akan tercapai tanpa peran matematika dan perkembangan matematika itu sendiri.

Dalam perkembangan teknologi informatika, matematika memberikan sumbangsih tersendiri. Berbagai aplikasi dan program di komputer tidak lepas dari penerapan aplikasi matematika, diantaranya adalah operasi Aljabar Boolean, teori graf, matematika diskrit, logika simbolik, peluang dan statistika. Teknologi yang semakin berkembang ini menunjukkan perkembangan manusia dalam menerapkan aplikasi matematika dalam mengembangkan bidang lain.

Salah satu contohnya adalah penerapan matematika diskrit dalam pengembangan teknologi komputer. Matematika diskrit adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya – Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer.

Contoh lainnya adalah dalam perkembangan memori. Memori menyimpan berbagai bentuk informasi sebagai angka biner. Informasi yang belum berbentuk biner akan dipecahkan (encoded) dengan sejumlah instruksi yang mengubahnya menjadi sebuah angka atau urutan angka-angka.

Selain itu matematika mengajarkan kita untuk berpikir kritis, bagaimana agar teknologi itu terus berkembang sejalan dengan berkembangnya ilmu matematika. Pengolahan angka-angka dalam matematika membentuk suatu rumus pemrograman yang digunakan dalam pengembangan ilmu komputer.

Teknik informatika dan matematika sangat erat hubungannya. Karena inti dasar teknik informatika adalah pembuatan software dan di dalam pembuatannya itu membutuhkan perhitungan dan logika yang pasti. Oleh karena itu, matematika sangat penting dalam rangka sebagai dasar dan pengembangan dalam majunya teknik informatika khususnya pembuatan software. Dalam pembuatan software tersebut menggunakan sistem bilangan biner dan kode bilangan. Semua disusun dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan suatu software yang dapat diguanakan untuk mempermudah aktivitas kita. Disamping itu, untuk membuat suatu pemrograman di komputer, kita harus menggunakan algoritma. Algoritma itu sendiri adalah langkah sistematis yang mengikuti kaidah logika.

Contoh penerapan lain yaitu:

a. Probabilitas

Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi, dan tentu tidak akan mengejutkan sama sekali. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seorang manusia melahirkan seekor kambing.

b. Algoritma

Algoritma adalah suatu prosedur yang tepat untuk memecahkan masalah dengan menggunakan bantuan komputer serta menggunakan suatu bahasa pemrogaman tertentu seperti bahasa Pascal, Visual Basic, Java, dan masih banyak lagi bahasa yang lain. Penggunaan algoritma untuk menghemat ukuran file serta dalam pemrograman komputer, penggunan segitiga pascal dalam program turbo pascal, dan lain sebagainya.

c. Kalkulus

Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang sains dan teknik dan digunakan untu memecahkan masalah yang kompleks yang mana aljabar tidak cukup untuk menyelesaikannnya. Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, dan di bidang-bidang lainnya. Komputer membaca data dalam bentuk bilang biner sementara cara mencari bilangan biner dipelajari dalam ilmu kalkulus.

d. Logika

Penggunaan logika matematika sebagai dasar bahasa pemrograman, struktur data, kecerdasan buatan, sistem digital, basis data, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, jaringan saraf tiruan. Selain itu fungsi logika juga digunakan dalam mengelola lembar kerja pada Microsoft Exsel.

Perkembangan ilmu matematika itu sendiri sebenarnya memberi umpan balik pada perkembangan teknologi informatika. Perkembangan teknik informatika juga akan mempermudah pengolahan perhitungan matematika menjadi lebih sistematis.

Contohnya sebagai berikut:

Pemanfaatan teknologi elektronik dalam pembelajaran memberi penguatan terhadap pola perubahan paradigma pembelajaran. Penggunaan teknologi informasi dan multimedia menjadi salah satu cara yang efektif dan efisien dalam menyampaikan informasi kepada peserta didik. Komputer merupakan salah satu teknologi informasi yang memiliki potensi besar untuk meningkatkan kualitas pembelajaran, khususnya dalam pembelajaran matematika.
Banyak hal abstrak atau imajinatif yang sulit dipikirkan oleh peserta didik dapat dipresentasikan melalui simulasi komputer. Latihan dan percobaan-percobaan eksploratif matematika dapat dilakukan peserta didik dengan menggunakan program-program sederhana untuk penanaman dan penguatan konsep, membuat permodelan matematika, dan menyusun strategi dalam memecahkan masalah.

Selain yang disebutkan diatas pemanfaatan computer dalam matematika yaitu:

1. Pembuatan power point

Power  point membantu system pembelajaran matematika yaitu untuk menampilkan paper yang akan diajarkan atau dipresentasikan.

2. Penggunaan Microsoft Exsel

Microsoft Excel merupakan salah satu aplikasi worksheet (lembar kerja elektronik) pengolah angka yang dapat di presentasikan ke dalam bentuk table dan grafik. Aplikasi ini juga dapat melakukan berbagai perhitungan dan simulasi. Dalam Microsoft Excel juga disediakan fungsi statistika, fungsi ini dapat kita gunakan untuk penghitungan dalam matematika seperti mencari jumlah, rata-rata, nilai tertinggi, nilai terendah, nilai variansi. Kita juga dapat membuat symbol, tabal dan grafik melalui Microsoft Exsel ini.

Persamaan Deferensial Pada Matematika Diskrit

A.       Pengertian Persamaan Differensial
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan.
Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.
         Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.
          Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Akan tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan. Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. 
Persamaan tersebut mempunyai bentuk :
dx/dt = ax - axy
dy/dt = -cy+ °xy
B.       Persamaan diferensial sendiri dapat dibagi menurut : 
1.      Menurut jenis atau tipe : yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. 
2.      Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. d3y/dx3 adalah orde tiga d2y/dx2adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.
3.      Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5 + y/x2+1 =ex adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. 
C.           Jenis Persamaan
Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan.
·         Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.
·         Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran.
Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.
D.       Penerapan persamaan diferensial pada kehidupan sehari-hari dan Matematika diskrit
Dalam penerapanya Persamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pencarian nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain ilmu yang dipengaruhi oleh Persamaan diferensial ini adalah Ilmu Fisika misal dalam hukum newton, Percepatan dan Kecepatan, Perhitungan Radio Nuklir dan masih banyak lagi